Beispiellösung der Abschlussklausur Differentialgleichungen 1

Beispiel 1: (6 Punkte)

Löse folgende inhomogene Differentialgleichung:
    
    
    

Lösung:

Diese partielle Differentialgleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit inhomogenen Rand- und Anfangsbedingungen. Wie auf dem Zettel aus der Vorlesung angedeutet (Fall 3), kann sie durch einen Ansatz der Form

u(x,t)=w(x,t)+z(x,t)

geloest werden, wobei z(x,t) die inhomogenen Randbedingungen erfullt mit und s(t)=t. Als Ansatz für z(x,t) nimmt man (siehe Tip auf der Angabe) besser

Hier also speziell

Durch Einsetzen des Ansatzes fuer u(x,t) in die DG ergibt sich die Differentialgleichung für w(x,t):

Für die Rand- und Anfangsbedingungen ergibt sich genauso (die ersten beiden mussten durch unseren Ansatz herauskommen!!!):

Damit ist die Differentialgleichung für w(x,t) eine homogene partielle DG mit homogenen Rand- und Anfangsbedingungen und besitzt damit nur die Lösung w(x,t)=0.

Insgesamt hat man also die folgendes Ergebnis:

Beispiel 2: (2 Punkte)

Sind folgende Differentialgleichungen selbstadjungiert? Falls nicht, beinge sie auf selbstadjungierte Form:
(a)
(b) y'' + 2 y' + 2 y = g(x)

Lösung:

Eine DG der Form ist selbstadjungiert, wenn sie in der Form (p(x) y')' + q(x)=g(x) darstellen lässt, also speziell, well .

(a) und damit ist die DG selbstadjungiert

(b) 1'≠2, die DG kann durch Multiplikation mit auf selbstadjungierte Form gebracht werden:

Beispiel 3: (6 Punkte)

Löse folgendes Randwertproblem:
    y''+2y'+2y=g(x), y(0)=y(π/2)=0

Lösung:

Zur Lösung mittels Greenscher Funktion muss die Differentialgleichung auf selbstadjungierte Form gebracht werden, was schon in Beispiel 2 geschehen ist.

Die allgemeine Lösung der homogene DG y''+2y'+2y=0 kann leicht berechnet werden:

ist Lösung der DG mit der ersten RB y(0)=0. Aus der allgemeinen Lösung der DG ergibt sich:

ist Lösung der DG mit der zweiten RB y(π/2)=0. Aus der allgemeinen Lösung der DG ergibt sich:

Für die Green'sche Funktion fehlt nun noch die Berechnung der Konstante c:

Damit lässt sich die Green'sche Funktion anschreiben:

Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist nun einfach das Integral über die Inhomogenität mit der Green'schen Funktion als Integralkern:

Beispiel 4: (6 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und Eigenfunktionen des folgenden Sturm-Liouville Systems:
    y''+2y'+(1-λ)y=0, y(0)=0, y'(1)=0

Lösung:

Wir bestimmen zuerst die allgemeine Lösung der DG und suchen dann alle Werte für λ, für die eine nicht-triviale Lösung der Randbedingungen existiert:

Fall 1: λ>0
Die allgemeine Lösung der DG lautet dann

Die Bedingungen ergeben:

Da (sonst triviale Lösung), muss

gelten. Diese Gleichung hat allerdings keine Lösung. Damit existiert für λ>0 keine Eigenfunktion.

Fall 2: λ=0
Wegen der doppelten Nullstelle , ist die allgemeine Lösung

Wiederum eingesetzt erhält man

Daher ist eine Eigenfunktion zum Eigenwert 0.

Fall 2: λ<0,

Die allgemeine Lösung der DG ist (Real- und Imaginaerteil von ergeben ja wieder ein Fundamentalsystem)

Eingesetzt in die RB:

Da , muss sein. Damit ist für alle Lambda, die die Gleichung erfüllen, eine zugehörige Eigenfunktion:

Beispiel 5: (5 Punkte)

Löse mittels Reihenentwicklung:
    y''-y=2x, y(0)=1, y'(0)=1

Die Lösung der Differentialgleichung mittels normalen Methoden (, also λ=±1) liefert für die homogene DG das Fundamentalsystem . Für eine spezielle Lösung der inhomogenen DG macht man den Ansatz . Einsetzen liefert dann a=-2. Die allgemeine Lösung ist also und aus den Anfangsbedingungen ergibt sich und

Lösung:

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Lösung: Einerseits kann die homogene Gleichung mittels Reihenentwicklung gelöst werden, und für die inhomogene obiger Ansatz benutzt werden, oder man löst gleich die inhomogene Gleichung direkt mit Reihenansatz. Letztere Methode möchte ich nun zeigen:

Aus den Anfangsbedingungen folgt sofort . Einsetzen in die DG:

Koeffizientenvergleich:

k=0: ->

k=1: ->

k≥2: ->

Für k=2n:    

Für k=2n+1:    

Eingesetzt in die Differentialgleichung mit diesen Koeffizienten der Reihenentwicklung:

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