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\begin{document}
\noindent


{\Large\bf Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
\bf\hspace{10mm}\hfill \break
\\
{\Large\bf Zus"atzliche Beispiele}\hfill 08.03.2002

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%\hbox to \hsize{\hglue 5cm Name:\dotfill}
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%\hbox to \hsize{\hglue 5cm Matr.Nr.:\dotfill}
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%\hbox to \hsize{\hglue 5cm Kennzahl:\dotfill}
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\rm
\vspace*{1cm}

\begin{itemize}
\item[1.] Ein medizinischer Test f"ur eine Krankheit, die mit Wahrscheinlichkeit
$P(\text{K})=\frac{1}{10000}$ auftritt, ergibt bei einem Kranken immer ein
richtiges Ergebnis, bei einem Gesunden ergibt der Test aber bei $1\%$ der F"alle
aber ein positives Ergebnis.

Wenn eine Person nun positiv getestet wird, wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Person tats"achlich krank ist?
\end{itemize}
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Dieses Beispiel verdeutlicht bedingte Wahrscheinlichkeiten. Wenn eine Person
krank (K) ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv (+)
verl"auft, eins:
\begin{equation*}
P(+|K)=1
\end{equation*}
Wenn eine Person gesund ist, ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests
gegeben als
\begin{equation*}
P(+|G)=0.01
\end{equation*}

Gesucht ist nun, die Wahrscheinlichkeit $P(K|+)$, dass eine positiv getestete
Person (also lautet die Bedingung, dass der Test positiv + ausgefallen ist) auch
krank (K) ist.

F"ur die bedingte Wahrscheinlichkeit existiert die Relation
\begin{equation}\label{Bed_W}
P(K|+)=\frac{P(+|K) P(K)}{P(+)}=\frac{P(+ \cap K)}{P(+)}
\end{equation}
wobei lediglich der Ausdruck $P(+)$ noch fehlt, der die Wahrscheinlichkeit
angibt, dass ein Test an einer zuf"alligen Person positiv ausf"allt. Diese kann
man aber leicht ausrechnen, indem man die beiden Faelle unterscheidet, dass die
gew"ahlte Person krank ist (mit Wahrscheinlichkeit $P(K)$ ist dies der Fall, mit
Wahrscheinlichkeit $P(+|K)$ liefert der Test dann ein positives Ergebnis) oder
gesund (analog wie bei einer kranken Person):
\begin{equation*}
P(+)= P(K) P(+|K) + P(G) P(+|G) = \frac{1}{10000} \cdot 1+ \frac{9999}{10000}
\frac{1}{100} = \frac{1}{10000} \frac{10099}{100}
\end{equation*}

Einfaches Einsetzen in Gleichung \eqref{Bed_W} liefert:
\begin{equation*}
P(K|+) =\frac{P(+|K) P(K)}{P(+)} = \frac{ 1 \cdot \frac{1}{10000}
}{\frac{1}{10000} \frac{10099}{100}} = \frac{100}{10099}=0.00990197
\end{equation*}
Dies bedeutet, dass bei einem positiven Test eine Person nur mit $1\%$
Wahrscheinlichkeit auch tats"achlich erkrankt ist!!!! Der Test ist damit -
obwohl er nur $1\%$ Fehlerwahrscheinlichkeit besitzt - v"ollig unbrauchbar.


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\bigskip


\begin{itemize}
\item[2.]Ein aufwendiges, teures chemisches Verfahren testet eine
grosse Zahl von Wasserproben auf Verunreinigungen mit einem speziellen
Giftstoff. Um die Kosten zu minimieren werden jeweils $M$ Proben
zusammengemischt und dieses Gemisch auf Verunreinigungen getestet. Verl"auft der
Test positiv, muss jede einzelne der $M$ Proben getestet werden um
herauszufinden, welche der Proben verunreinigt sind.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe verunreinigt ist, betr"agt $p$, und ein
Test kostet eine Geldeinheit. Wie muss $M$ gew"ahlt werden, damit die Kosten pro
Probe minimal werden?
\end{itemize}
\hrule width\hsize height 0.5pt
\bigskip
F"ur jeweils $M$ Proben muss als Fixkosten auf alle F"alle der erste Test
durchgef"uhrt werden, also Kosten von 1 Geldeinheit fuer $M$ Proben, bzw.
$\frac{1}{M}$ Geldeinheiten pro Probe.
F"allt dieser Test positiv aus, was bedeutet, dass mindestens eine Probe
verunreinigt ist, muss jede Probe getestet werden, also eine zus"atzliche
Geldeinheit pro Probe aufgewendet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass
mindestens eine der $M$ Proben verunreinigt ist, betr"agt mittels
Gegenwahrscheinlichkeit
 \begin{equation*}
P(>\text{1 verunreinigte})=1-P(\text{0 verunreinigt})=1-(1-p)^M
\end{equation*}

Insgesamt betragen also die Kosten pro Probe:
\begin{equation*}
K(M)=\underbrace{\frac1M}_{\substack{\text{Fixkosten}\\ \text{1.
Test}}} + \underbrace{1}_{\substack{\text{Kosten f"ur}\\\text{2. Test...}}}
\underbrace{\left( 1-(1-p)^M \right)}_{\substack{\text{... wenn 1.
Test}\\\text{positiv war}}}
\end{equation*}

Die Aufgabenstellung ist nun, dies bez"uglich $M$ zu minimieren, also eine
Extremwertaufgabe zu l"osen:
\begin{equation*}
K'(M)=-\frac{1}{M^2} - (1-p)^M \log(1-p) \stackrel{!}{=} 0 \end{equation*}

Diese Gleichung l"asst sich nicht analytisch, sondern nur numerisch l"osen. F"ur
$p=0.01$, d.h. $1\%$ Wahrscheinlichkeit f"ur Verunreinigung, ergibt sich
$M=10.5162$. Da $M$ aber ganzzahlig sein muss, sind $M=10$ oder $M=11$
als L"osung m"oglich:
\begin{align*}
K(10)&=0.195618\\
K(11)&=0.195571
\end{align*}
Demnach sind die Kosten minimal, wenn bei ein-prozentiger
Verunreinigungswahrscheinlichkeit jeweils 11 Proben zusammengefasst und getestet
werden.


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%\ref{}
\end{document}