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\begin{document}
\noindent


{\Large\bf Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik}
\bf\hspace{10mm}\hfill \break
\\
{\Large\bf Zus"atzliche Beispiele}\hfill 15.03.2002

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%\hbox to \hsize{\hglue 5cm Name:\dotfill}
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%\hbox to \hsize{\hglue 5cm Kennzahl:\dotfill}
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\rm
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\begin{itemize}
\item[1.] Sei die Function $f$ gegeben durch 
\begin{equation*}
f(x)=\begin{cases} \alpha x^2 (1-x) & 0\le x\le 1\\ 0&\text{sonst}\end{cases}
\end{equation*}
Man bestimme $\alpha$ so, dass $f$ Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen $X$ ist und ermittle die Verteilungsfunktion $F_X$ sowie den Erwartungswert $\mathbb{E}(X)$.
\end{itemize}
\hrule width\hsize height 0.5pt
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Eine nicht-negative Funktion $f$ ist genau dann Dichtefunktion einer Zufallsvariable, wenn $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx=1$ gilt. In diesem Fall ist $f(x)$ f"ur nicht-negative $\alpha$ auch nicht-negativ, und die Bedingung f"ur die Dichtefunktion lautet
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_0^1 \alpha x^2 (1-x) dx = \alpha \left.\left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\right|_{0}^{1}=\frac{\alpha}{12} \stackrel{!}{=} 1
\end{equation*}

Daher muss $\alpha=12$ gew"ahlt werden, damit $f(x)$ eine Dichtefunktion darstellt.

Die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ kann bestimmt werden mittels
\begin{equation*}
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
\end{equation*}
In diesem speziellen Fall m"ussen wir allerdings die drei Bereiche $x\le0$, $0\le x\le 1$ und $x>1$ unterscheiden. Im ersten Fall ist der Integrand immer 0, also auch das gesamte Integral. Im letzten Fall kann die obere Integrationsgrenze mit 1 fixiert werden, weil der Integrand danach ebenfalls immer verschwindet. Es bleibt der zweite Fall zu l"osen, wobei die untere Integrationsgrenze mit 0 gew"ahlt werden kann, da $f$ darunter verschwindet:
\begin{equation*}
\int_{0}^x f(u) du = \int_0^x 12 u^2 (1-u) du = 12 \left.\left(\frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4}\right)\right|_0^x = 12 \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right) = 4 x^3 - 3 x^4
\end{equation*}

Insgesamt ergibt sich also f"ur die Verteilungsfunktion $F_X(x)$
\begin{equation*}
F_X(x) = \begin{cases}
0 & x\le 0\\
4 x^3 - 3 x^4 & 0\le x \le 1\\
1 & x>1
\end{cases}
\end{equation*}


Zuletzt soll noch $\mathbb{E}(X)$ berechnet werden nach der Definition $\mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$:
\begin{equation*}
\mathbb{E}(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{1} 12 x^3 (1-x) dx = 12 \left.\left(\frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5}\right)\right|_0^1 = 12 \left(\frac14 - \frac15\right) = \frac{12}{20}=\frac{3}{5}
\end{equation*}



\bigskip
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\bigskip


%\ref{}
\end{document}