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\setcounter{tocdepth}1 \hbadness 9999

\begin{document}

\begin{center}
  \textbf{\Large \"Ubungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie I}\\
 07.03.2003
\end{center}


\begin{enumerate}

\item In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. Zehn von ihnen sind
schwarz, zwanzig rot. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 6 Ziehungen von je 6 Kugeln der Reihe nach
0,1,2,3,4,5 rote Kugeln zu ziehen, wenn die gezogenen Kugeln jedesmal wieder in die Urne zur\"uckgelegt werden.
Bereche auch den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der gezogenen roten Kugeln.

\item Es sei $f$ eine durch
$$ f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
  \alpha x^2 (1-x) &0 \leq x \leq 1 \\
  0 & \textrm{sonst}
\end{array}
\right.$$ gegebene Funktion. Man bestimme $\alpha$ so, dass $f$ Dichtefunktion einer
stetigen Zufallsvariablen $X$ ist und ermittle die Verteilungsfunktion $F_X$ sowie den
Erwartungswert $\erw[X]$.

\item Man berechne approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass bei 12000 unabhängigen Würfen
mit einem fairen Würfel die Anzahl der 6er im Intervall [1900, 2150] liegt.

\item Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit in Mathematik eine 5 zu bekommen,
gleich $P(M=5)=0.5$ ist. Andererseits liegt die Wahrscheinlichkeit in Latein eine 5 zu
erhalten bei $P(L=5)=0.4$. Die Wahrscheinlichkeit, in beiden Fächern negativ zu sein,
ist $P(M=5,L=5)=0.1$.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in Mathematik eine 5 zu
bekommen, wenn man in Latein schon eine 5 erhalten hat? Und umgekehrt?

\item Für welches $k$ definiert die Funktion $P(X=i)=\frac{k}{N}$ für $i=1,2,\dots,N$
eine Dichte einer diskreten Zufallsvariablen X? Geben Sie den Erwartungswert von $X$
an.

\item Eine stetige Zufallsvariable $X$ habe die Verteilungsfunktion
$$F_X(x)=
\begin{cases}
  0 & {x<0} \\
  \frac{2}{3}x^3 & {0\leq x\leq 1} \\
  x-\frac{1}{3} & {1\leq x<c} \\
  1 & {c\leq x}
\end{cases}$$

\begin{enumerate}
  \item Wie groß muss $c$ sein?
  \item Berechnen Sie den Erwartungswert $\erw[X]$.
  \item Geben Sie die Wahrscheinlichkeit $P_X(\frac{1}{4}<X\leq \frac{5}{4})$ und
  $P_X(X=1)$ an.
\end{enumerate}

\item Eine telegraphische Nachricht im Morse-Alphabet besteht aus den Signalen
``Punkt'' und ``Strich''. Es ist bekannt, dass ``Punkt'' und ``Strich'' im Verhältnis
5:3 auftreten. Durch eine Störung können einzelne Signale nicht verstanden werden,
wobei die statistischen Eigenschaften dieser Störung solcher Art sind, dass im Mittel
$2/5$ der ``Punkt'' - und $1/3$ der ``Strich''-Signale gestört sind. Man bestimme die
Wahrscheinlichkeit, dass ein übertragenes Signal verstanden werden kann, und die
Wahrscheinlichkeiten, dass ein nicht verstandenes Signal ``Punkt'' bzw. ``Strich'' war.


\item Bezeichne $K$, $R$ bzw. $S$ die Ereignisse, dass die \textit {Kleine Zeitung}, die
\textit {Kronenzeitung} bzw. der \textit {Standard} in einem österreichischen Haushalt
gelesen wird. Es sei bekannt, dass $P(K)=0.7$, $P(R)=0.5$, $P(S)=0.6$, $P(K$ aber nicht
$R)=0.3$, $P(R$ und $S)=0.2$, $P(K$ und $R$ und $S)=0.1$. Man bestimme die
Wahrscheinlichkeit der Ereignisse
\begin{itemize}
  \item $A_1$:\quad $S$ und $R$, aber nicht $K$.
  \item $A_2$:\quad $R$ und $K$, aber nicht $S$.
  \item $A_1$ oder $A_2$.
\end{itemize}

\item Zwei Spieler A und B, ziehen (unabhängig voneinander) aus einem gut
durchmischten Skatspiel (32 verschiedene Karten, eine davon ein Herz-As, eine zweite
ein Karo-As) abwechselnd eine Karte ohne Zurücklegen. Spieler A beginnt. Wer zuerst
das Herz-As oder das Karo-As zieht, hat gewonnen. Ist nach dem Ziehen der 5. Karte
noch kein Sieger ermittelt, so wird das Spiel abgebrochen.

\begin{enumerate}
\item Die Zufallsvariable $X$ beschreibe die Anzahl der in einem Spiel gezogenen
Karten. Man bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen $X$ und ihre
Verteilungsfunktion.
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_A$ bzw. $p_B$, dass Spieler A bzw.
Spieler B gewinnt?

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}