\documentclass[11pt,a4paper,oneside]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[german]{babel} %\usepackage{eurofont} \usepackage{amsfonts} \usepackage{latexsym,amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage[section,a4]{defs} \DeclareFontShape{OT1}{cmr}{bx}{sc} { <5> cmbxsc5 <6> cmbxsc6 <7> cmbxsc7 <8> cmbxsc8 <9> cmbxsc9 <10> cmbxsc10 <10.95> cmbxsc11 <12> cmbxsc12 <14.4> cmbxsc14 <17.28> cmbxsc17 <20.74> cmbxsc20 <24.88> cmbxsc25 <29.86> cmbxsc30 <35.83> cmbxsc36}{} %\renewcommand{\oddhead}{Mathematik 2E\hfillÜbungsbeispiele zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik} %\renewcommand{\oddfoot}{\hfill\thepage\hfill} %\renewcommand{\evenhead}{} %\renewcommand{\evenfoot}{} \pagestyle{plain} \def\P{P} \DeclareMathOperator{\erw}{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator{\Var}{Var} \newcommand{\w}{Wahrscheinlichkeit} \parskip=11pt plus 3pt minus 3pt \parindent=0pt \begin{document} \begin{center} \textbf{\Large Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie \& Statistik II}\\ 14.03.2003 \end{center} \begin{enumerate} \item Eine blinde Oma schenkt ihrem Enkel Max zu Weihnachten zwei Geldscheine. In ihrer Brieftasche befinden sich drei 5 Euro-Scheine, drei 10 Euro-Scheine und ein alter Einkaufszettel. Zufällig zieht die Oma zwei von diesen sieben Scheinen aus ihrer Brieftasche und gibt sie Max. Es bezeichne $W$ den Wert der Geldscheine, die Max bekommen hat. \begin{enumerate}[(a)] \item Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und die Varianz von $W$. \item Wie groß ist die \w, dass Max mindestens 10 Euro bekommt? Berechnen Sie weiters die \w, dass Max weniger als den Erwartungswert $\E(W)$ bekommt. \item Das kleine Geschwisterchen von Max bekommt nur einen Geldschein von Oma. Die Oma zieht zuerst einen 5 Euro-Schein aus ihrer Brieftasche und lässt nun Max entscheiden, ob er diesen Schein behalten will, oder ob ihn sein Geschwisterchen bekommen soll. Wie soll er sich entscheiden? (Hinweis: Wie ändert sich der Erwartungswert?) \end{enumerate} \item In einem Ölhafen ist die Zahl der pro Tag einlaufenden Tanker Poisson-verteilt mit Erwartungswert 2. Es können pro Tag 3 Tanker abgefertigt werden. \begin{enumerate} \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag Tanker abgewiesen werden müssen? \item In welchem Ausmaß muss die Kapazität erweitert werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90\% alle einlaufenden Tanker abfertigen zu können? \end{enumerate} \item Beim Hütchenspiel wird unter einem von drei Hütchen eine Erbse versteckt. Danach werden die Hütchen gemischt, und ein Spieler kann auf ein Hütchen setzen. Der Spieler gewinnt, wenn er jenes Hütchen errät, unter dem sich die Erbse befindet. Um dem Spieler zu helfen wird ihm zufällig ein Hütchen genannt, auf das er nicht gesetzt hat und in dem sich die Erbse nicht befindet. Nun kann der Spieler seinen Einsatz verschieben. Wie soll sich der Spieler verhalten, um möglichst oft zu gewinnen? \item Es soll die Verteilung von Geburtstagen innerhalb einer Gruppe untersucht werden. Einfachheitshalber wird angenommen, dass es keine Schaltjahre gibt. \begin{enumerate}[(a)] \item Wie groß ist die \w, dass innerhalb einer Gruppe von 15 Personen mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben? \item Wieviele Personen müssen in einer Gruppe sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90\% oder mehr mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben? \end{enumerate} \item Die Füllung von 50 kg - Zementsäcken erfolgt maschinell. Die Maschine hat die Einstellungen $\mu=50$ kg und $\sigma=1.5$ kg. \begin{enumerate} \item \label{a} Wieviel Prozent Ausschuss ist zu erwarten, wenn ein Sack \begin{enumerate} \item mehr als 49 kg wiegen muss? (25.14\%) \item höchstens 52 kg wiegen darf? (9.18\%) \item um max. 1.2 kg vom Sollgewicht abweichen darf? (42.38\%) \end{enumerate} \item Wie muss man die Toleranzgrenzen wählen (50$\pm\triangle\mu$), um nicht mehr als 5\% Ausschuss zu erhalten? ($\triangle\mu=2.94$) \item Wie ändern sich in Aufgabe \ref{a} jeweils die Ausschuss-Anteile, wenn eine bessere Anlage mit $\sigma=0.8$ kg eingesetzt wurde? (10.57\%; 0.62\%; 13.36\%) \end{enumerate} \item Der Nikotingehalt einer Zigarettensorte wird periodisch überprüft. Dem Verpackungstext zufolge soll eine Zigarette einen Nikotingehalt im Rauch von 0.6{mg} aufweisen. Bei einer Stichprobe von 30 Zigaretten wurden die Messwerte $\bar{x} = 0.63$ und $s = 0.065$ ermittelt. Man bestimme ein zweiseitges Konfindenzintervall, in dem der wahre Mittelwert der Stichprobe mit $99\%$ liegt. Welche Voraussetzungen müssen Sie dafür machen? \item Die Anzahl der Bücher, die pro Wochentag in einer Bibliothek entlehnt werden, ist in der folgenden Tabelle angegeben: \begin{center} \begin{tabular}{ccccc} Montag & Dienstag & Mittwoch & Donnerstag & Freitag \\ \hline 136 & 127 & 119 & 114 & 164 \end{tabular} \end{center} Testen Sie die Behauptung: Die Zahl der Entlehnungen ist unabhängig vom Wochentag. \item Ein Student sitzt nach bestandener Mathematik-Prüfung in einer Bar und trinkt Tequilla. Aus Erfahrung weiß er, dass er mit einer \w\ von 5\% in einem Glas einen Wurm bekommt. \begin{enumerate}[(a)] \item Es bezeichne nun $W$ die Anzahl der Würmer, die in zehn Tequilla vorkommen. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von $W$. Berechnen Sie $\P(W=1)$ und $\P(W \geq 1)$. \item Der Student trifft vier Freunde, und alle trinken sie nun jeweils sechs Tequilla. Wie groß ist die \w, dass dann zwei oder mehr von ihnen mindestens einen Wurm bekommen? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Würmer konsumiert werden. \end{enumerate} \item Zwei Jäger schießen auf zwei Enten und treffen ihr Ziel jeweils mit einer \w\ von 80\%. \begin{enumerate}[(a)] \item Sie sprechen sich ab, wer auf welche Ente schießt. Wie groß ist dann die \w, dass genau eine Ente getroffen wird? \item Was passiert, wenn den Jägern keine Zeit mehr bleibt, um sich abzusprechen, und sie unabhängig und zufällig auf die Enten schießen? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}