\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsthm} \usepackage{german} \usepackage[latin1]{inputenc} \newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newtheorem{lem}{Lemma}[section] \newtheorem{theo}[lem]{Satz} \newtheorem{coro}[lem]{Korollar} \newtheorem{propo}[lem]{Proposition} \newtheorem{defin}[lem]{Definition} \newtheorem{bem}[lem]{Bemerkung} \newtheorem{bew}[lem]{Beweis} \newcommand{\erw}{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator{\hyp}{hyp} \DeclareMathOperator{\e}{e} \DeclareMathOperator{\iu}{i} \DeclareMathOperator{\de}{d} \setlength{\textwidth}{18cm} \setlength{\headheight}{5pt} \setlength{\oddsidemargin}{-1cm} \setlength{\topmargin}{-1.5cm} \setlength{\textwidth}{18cm} \setlength{\textheight}{25cm} \setlength{\paperwidth}{21cm} \setlength{\paperheight}{29.7cm} \setlength{\parskip}{11pt} \setlength{\parindent}{0pt} \newenvironment{lemma}[1] {\begin{lem}\sl #1} {\end{lem}} \newenvironment{theorem}[1] {\begin{theo}\sl #1} {\end{theo}} \newenvironment{corollary}[1] {\begin{coro}\sl #1} {\end{coro}} \newenvironment{proposition}[1] {\begin{propo}\sl #1} {\end{propo}} \setcounter{tocdepth}1 \hbadness 9999 \begin{document} \begin{center} \textbf{\Large Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie}\par \textbf{\large Aufgaben und Lösungen}\\ 1. Übungsblatt \end{center} \begin{enumerate} \item In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. Zehn von ihnen sind schwarz, zwanzig rot. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 6 Ziehungen von je 6 Kugeln der Reihe nach 0,1,2,3,4,5 rote Kugeln zu ziehen, wenn die gezogenen Kugeln jedesmal wieder in die Urne zur\"uckgelegt werden. Bereche auch den Erwartungswert und die Varianz der Anzahl der gezogenen roten Kugeln. \textbf{Lösung:}\\ \begin{itemize} \item Es bezeichne $X$ die Anzahl der roten Kugeln bei 6 Ziehungen. Damit ist $X$ binomialverteilt $X \sim Bin(n, p)$ mit $n=6$ und $p=2/3$. Daraus ergibt sich $$ P(X=k)= {6 \choose k} \cdot (2/3)^k \cdot (1/3)^{6-k}.$$ \item Für den Erwartungwert resultiert $$ \erw(X) = np = 6\frac{2}{3}=4.$$ \item Für die Varianz gilt $$\mathbf{Var}(X)=np(1-p)=\frac{4}{3}.$$ \item Nun bezeichen wir die Anzahl der roten Kugeln in der $i$-ten 6er Ziehung mit $X_i$. Dann gilt auf Grund der Unabhängigkeit von $X_i,X_j$ für $i \neq j$: $$P(X_1 =0,X_2=1,X_3=2,X_4=3,X_5=4,X_6=5) = \prod_{i=1}^6 P(X_i=i-1)= \prod_{i=0}^5b_6(i) \approx 3,53 \cdot 10^{-8}.$$ \end{itemize} \item Es sei $f$ eine durch $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \alpha x^2 (1-x) &0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \textrm{sonst} \end{array} \right.$$ gegebene Funktion. Man bestimme $\alpha$ so, dass $f$ Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen $X$ ist und ermittle die Verteilungsfunktion $F_X$ sowie den Erwartungswert $\erw[X]$. \textbf{Lösung:}\\ Damit $f$ eine Dichtefunktion ist, muss $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \de\!x = 1$$ gelten. In unserem Fall bedeutet das $$ \int_0^1 \alpha x^2 (1-x) \de\!x =\left. \left( \frac{\alpha x^3}{3} - \frac{\alpha x^4}{4} \right)\right|_0^1 = \frac{\alpha}{12}.$$ Damit dies gleich 1 ist, muss $\alpha = 12$ sein. Für die Verteilungsfunktion erhalten wir $$ \int_{-\infty}^x f(t) \de\! t = \int_0^x 12 t^2 (1-t) \de\! t = \left.(4t^3 - 3t^4) \right|_0^x = 4x^3 - 3x^4,$$ und damit gilt $$ F_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \leq 0 \\ 4x^3 - 3x^4 & 0 < x \leq 1 \\ 1 & x > 1 \end{array} \right. $$ Schließlich ergibt sich für den Erwartungswert $$ \erw[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \de\!x = \int_0^1 12x^3(1-x) \de\!x = \left. \left( 3x^4 - \frac{12}{5}x^5\right) \right|_0^1 = \frac{3}{5}.$$ \item Man berechne approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass bei 12000 unabhängigen Würfen mit einem fairen Würfel die Anzahl der 6er im Intervall [1900, 2150] liegt. \textbf{Lösung:}\\ Bei großen Werten wird die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert. Dazu folgende Festlegung: $n = 12000, p = \frac{1}{6}, q = 1- p = \frac{5}{6}, a =1900, b = 2150$. Mit den Approximationsformeln erhalten wir \begin{align*} \alpha &= \frac{a -np -0.5}{\sqrt{npq}} = -2.4617, \\ \beta &= \frac{b - np + 0.5}{\sqrt{npq}} = 3.6864. \end{align*} Nun folgt mit Hilfe der Zahlenwerte der Standardnormalverteilung $$ P(a \leq X \leq b) = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = 0.9998-(1-0.9931)=0.9929.$$ \item Es sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit in Mathematik eine 5 zu bekommen, gleich $P(M=5)=0.5$ ist. Andererseits liegt die Wahrscheinlichkeit in Latein eine 5 zu erhalten bei $P(L=5)=0.4$. Die Wahrscheinlichkeit, in beiden Fächern negativ zu sein, ist $P(M=5,L=5)=0.1$. Wie groß beträgt die Wahrscheinlichkeit, in Mathematik eine 5 zu bekommen, wenn man in Latein schon eine 5 erhalten hat? Und umgekehrt? \textbf{Lösung:}\\ Die bedingte Wahrscheinlichkeit $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$, wenn bekannt ist, dass Ereignis $B$ eingetreten ist. Im Kontext der Aufgabe sei $$A=\text{``5er in Mathematik erhalten''}$$ und $$B=\text{``5er in Latein erhalten''}.$$ Gesucht sind demnach die Wahrscheinlichkeiten $P(A|B)$ und $P(B|A)$. Diese lassen sich bestimmen zu $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}= \frac{P(M=5,L=5)}{P(L=5)}=\frac{0.1}{0.4}=0.25$$ und $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}= \frac{P(M=5,L=5)}{P(M=5)}=\frac{0.1}{0.5}=0.2.$$ \item Für welches $k$ definiert die Funktion $P(X=i)=\frac{k}{N}$ für $i=1,2,\dots,N$ eine Dichte einer diskreten Zufallsvariablen X? Geben Sie den Erwartungswert von $X$ an. \textbf{Lösung:}\\ Es muss gelten, dass $$\sum_{i=1}^{N}P(X=i)=1.$$ Es ist $$\sum_{i=1}^{N}P(X=i)=\sum_{i=1}^{N}\frac{k}{N}=N\cdot \frac{k}{N}=k=1.$$ Daraus folgt, dass $k=1$ sein muss. Der Erwartungswert von $X$ berechnet sich aus $$\erw[X]=\sum_{i=1}^{N}i P(X=i)=\sum_{i=1}^{N}i \frac{1}{N}= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}i=\frac{1}{N}\cdot \frac{1}{2}N(N+1)=\frac{1}{2}(N+1).$$ \item Eine stetige Zufallsvariable $X$ habe die Verteilungsfunktion $$F_X(x)= \begin{cases} 0 & {x<0} \\ \frac{2}{3}x^3 & {0\leq x\leq 1} \\ x-\frac{1}{3} & {1\leq x