Proseminararbeit
von Reinhold Kainhofer
für das Studium der Technischen Mathematik
an der TU Graz bei Prof. Tomantschger
November 1997

 

   
 

Inhalt

Einführung 1
Das Leben von Thomas Jan Stieltjes 2
Wiederholung des Riemann-Integrals 3

Zerlegungen von [a, b] 4
Ober- und Untersummen 5
Die Riemann'schen Zwischensummen 6
Rechenregeln für das Riemann-Integral 7
Voraussetzungen für die Existenz des Riemann-Integrals 8
Partielle Integration 9
Mittelwertsätze 10

Definition des Stieltjes-Integrals 11

Riemann-Stieltjes-Summen 12
Die Definition des Stieltjes-Integrals 13
Ober- und Untersummen 14

Eigenschaften des Stieltjes-Integrals 15

Linearität bezüglich f und g 16
Abschätzungen 17

Existenz des Stieltjes-Integrals 18
Transformation in ein Riemann-Integral 19
Partielle Integration 20
Mittelwertsätze 21
Unterschiede zwischen metrischer und natürlicher Ordung 22
 
 
 

   

1 Einführung

1894 veröffentlichte Thomas Jan Stieltjes eine originelle Arbeit über Kettenbrüche, in der er ein neues Integral einführte. Unter der Annahme, f sei stetig auf [a, b] und g monoton wachsend, bildet er für die Zerlegung  von [a, b] die Summen

• 

Diese unterscheiden sich von den Riemann'schen Summen nur dadurch, daß die Größe des Intervalls nicht durch x_i-x_i-1, sondern durch die entsprechende Differenz der Funktion g gegeben ist.
Damit kann man z.B. die Gesamtmasse und den Schwerpunkt einer 1-dimensionalen Massenverteilung angeben, ohne zwischen der Summe für das Modell mit Massenpunkten und das Integral für kontinuierliche Massenverteilung unterscheiden zu müssen. die diskreten Massenpunkte oder die kontinuierliche Massenverteilung sind dann in der Funktion g integriert:

• 

Aber Stieltjes betrachtete auch höhere Momente:

• 

Der Fall k=0 liefert die Masse mit Massenverteilungsfunktion g(t), k=1 den Schwerpunkt mal Gesamtmasse und k=2 das Trägheitsmoment.

Zunächst fand das Stieltjes-Integral wenig Beachtung, bis Friedrich Riesz 1909 zeigen konnte, daß jede stetige lineare Abbildung als Stieltjes-Integral darstellbar ist:

• 

wobei g von beschränkter Variation ist.
Im Laufe der Zeit entwickelten sich zwei verschiedene Typen dieses Integrals: Das eine in der metrischen Ordnung als Limes von Z_E(f, g) in Anlehnung an Riemann, der das Riemann'sche Integral auf diese Weise eingeführt hatte. Die andere Art, das Stieltjes-Integral in natürlicher Ordnung mittels Netzlimes, stimmt im allgemeinen nicht mit ersterem überein. Beim Spezialfall der Riemann'schen Integrals jedoch sind beide Definitionen gleichwertig.
Leider Gottes werden beide Definitionen gemeinhin als DAS Stieltjes-Integral bezeichnet.
 
 
 

 
 

2 Das Leben von Thomas Jan Stieltjes

Thomas Jan Stieltjes wurde am 29. 12. 1856 in Zwolle, Niederlande, geboren. Sein Vater war von Beruf Zivilingenieur und Mitglied des Parlaments. Vor allem bekannt war er wegen seiner Leistungen beim Bau des Hafens in Rotterdam.

Stieltjes begann seine Studien an der Polytechnischn Schule in Delft. Da er allerdings die Werke von Gauß und Jacobi lieber las als die Vorlesungen zu besuchen, fiel er bei seinen Prüfungen durch. Als er auch 1875 und 1876 die Prüfungen nicht positiv ablegen konnte, verschaffte ihm sein Vater durch einen guten Bekannten eine Anstellung an der Sternwarte Leiden. Aufgrund seiner Arbeiten über Himmelsmechanik kam er in Kontakt mit Hermite, mit dem er im Laufe seines Lebens 432 Briefe austauschte.

Kurz nachdem er 1883 Lilly Intvelt geheiratet hatte, verließ er die Sternwarte Leiden, um sich ganz der Mathematik hinzugeben. Er bewarb sich um einen Lehrstuhl an der Universität Groningen, der ihm allerdings nicht zugesprochen wurde, obwohl er an erster Stelle gereiht war. Ausschlaggebend dafür war, daß Stieltjes keinen akademischen Titel besaß. Doch im Juni 1884 verlieh im die Universität Leiden - wie auch schon seinem Vater - einen Ehrendoktortitel in Mathematik und Astronomie. Bei der Verleihung war Stieltjes allerdings aufgrund eines Missverständnisses nicht anwesend.

1885 ging Stieltjes nach Paris und erhielt im Jahr 1889 eine Professur in Toulouse. Dort verstarb er bereits im Alter von 38 Jahren am 31. Dezember 1894.

Im Laufe seines Lebens befasste sich Stieltjes neben der Himmelsmechanik am Observatorium Leiden hauptsächlich mit Analysis, Kettenbrüchen und der Zahlentheorie. Vor allem bekannt ist er aber wegen des von ihm eingeführten und nach ihm benannten Stieltjes-Integrals.
 
 
 

 
 

3 Wiederholung des Riemann-Integrals

In diesem Kapitel werde ich kurz das Riemann-Integral und eine Sätze wiederholen, die ich im Laufe des Proseminars auf das Stieltjes-Integral übertragen möchte, bzw. die ich im Laufe des Proseminars verwenden werde. Da das Riemann-Integral schon ausführlichst in Analysis 1 und 2 behandelt wurde, möchte ich hier auf Beweise verzichten und nur in einigen wichtigen Einzelfällen eine kurze Beweisskizze angeben.

Je nachdem, von welchem Standpunkt man ausgeht, stellt das Stieltjes-Integral eine Verallgemeinerung des Riemann-Integrals dar, bzw. ist das Riemann-Integral eine Spezialform des Stieltjes-Integral.

3.1 Zerlegungen von [a, b]

Man unterteilt das Integrationsintervall [a, b] durch eine Zerlegung E=(), wobei  gilt.
Die Feinheit einer Zerlegung wird definiert als .
Eine Zerlegung E' von [a, b], die auch alle Punkte von E enthält, wird Verfeinerung von E genannt. Es gilt dann natürlich D E'£ DE.

3.2 Ober- und Untersummen

Als Ober- bzw. Untersumme bzgl. der Zerlegung E ist definiert:

• 

Es ist leicht zu zeigen, daß für eine Verfeinerung E' von E gilt:

O_E(f)³ O_E'(f) und U_E(f)£ U_E'(f)

Beweisskizze: Man schreibt dazu in der Summe für Ober- bzw. Untersumme die Terme, die durch Hinzunahme eines Punktes in der Verfeinerung geändert wurden, getrennt an und schätzt ab: , wobei . Diese Abschätzung ist aber nur möglich, wenn .

Außerdem gilt für beliebige Zerlegungen E und E':

O_E(f)³ U_E'(f),

Beweisskizze:
Für eine gemeinsame Verfeinerung  von E und E' gilt:

Also ist die Obersumme nach unten und die Untersumme nach oben beschränkt. Damit existiert das Supremum der Untersummen und das Infimum der Obersummen nach dem Vollständigkeitsaxiom. Zudem ist der Limes für DE->0 der Obersumme das Infimum. Entsprechendes gilt für die Untersumme. Es wird dann das Oberintegral durch  definiert und das Unterintegral entsprechend durch . Ist I_U(f)=I_O(f), so wird f Riemann-integrierbar genannt, und man definiert:

• 

3.3 Die Riemann'schen Zwischensummen

Falls f Riemann-integrierbar ist, dann gilt natürlich für beliebige Zwischenwerte  die Abschätzung:

• 

Die Summe, die abgeschätzt wird, nennt man auch Riemann-Summe. Ist f Riemann-integrierbar, dann existieren die Limiten von O_E und U_E und sind gleich. Dann ist auch:

• 
   

3.4 Rechenregeln für das Riemann-Integral

• 

wobei f₁ und f₂ integrierbare Funktionen darstellen.

Beweisskizze: Es genügt, die Relation für + zu beweisen, für - wird -f₂ anstelle von f₂ verwendet und der folgende Satz angewendet. Die Ober- und Untersummen können abgeschätzt werden durch O_E(f₁+f₂)£ O_E(f₁)+O_E(f₂) und U_E(f₁+f₂)³ U_E(f₁)+U_E(f₂) indem man in der Summe die einzelnen Summanden inf(f₁(x)+f₂(x))  nach oben abschätzt durch inf f₁(x)+inf f₂(x) . Da O_E und U_E für f₁ und f₂ gegen denselben Wert konvergieren (f₁ und f₂ sind integrierbar), konvergieren nach dem Sandwich-Prinzip auch O_E ( f₁+f₂) und U_E ( f₁+f₂) und zwar gegen I ( f₁)+I(f₂).

Für eine beliebige reelle Konstante c gilt (wenn f auf [a, b] integrierbar)

• 

wie leicht mittels Ober- und Untersumme gezeigt werden kann.

Wenn f und g auf [a, b] integrierbare Funktionen darstellen und " xÎ [a, b]: f(x)³ f(x) (also auch inf f³ inf g und sup f³ sup g), dann gilt

• 

wie man wieder leicht durch Abschätzung der Ober- und Untersummen sehen kann. Insbesondere gilt für .

Für ein beliebiges c aus dem Integrierbarkeitsintervall gilt außerdem:

• 

  Beweisskizze: Diese Gleichung wird bewiesen, indem man zuerst obige Behauptung für cÎ [a, b] zeigt, woraus dann unmittelbar die Behauptung für beliebige c (aus dem Integrierbarkeitsintervall) folgt (Durch Umbenennung der Intervallgrenzen bzw. Subtraktion eines Integrals auf beiden Seiten.). Für cÎ [a, b] betrachtet man Ober- und Untersummen von Zerlegungen, die c als Teilungspunkt beinhalten. Dadurch kann man Ober- und Untersumme auf jeweils 2 Summen aufteilen, die dann gegen die beiden Integrale auf der rechten Seite konvergieren.

3.5 Voraussetzungen für die Existenz des Riemann-Integrals

Die zu integrierende Funktion f muß auf alle Fälle beschränkt sein, da ansonsten das Infimum oder Supremum für ein beliebig kleines Intervall nicht existiert.

1) Wenn f auf [a, b] stetig ist, dann ist f auch integrierbar.
2) und andere Voraussetzungen, die gewährleisten, daß  existiert. Diese möchte ich aber in diesem Proseminar nicht näher behandeln.

3.6 Partielle Integration

Sind f und g differenzierbare Funktionen, also insbesondere auch stetig, weiters f' und g' in [a, b] stückweise stetig, so gilt:

• 

  Beweis: Für den Beweis betrachtet man die Funktion h(x):=f(x)g(x), deren Ableitung nach der Kettenregel lautet: h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Es gilt dann . Andererseits ist , was obige Gleichung bestätigt.

3.7 Mittelwertsätze

1. MWS: Vor: g stückweise stetig, g=0 und . (Oder g<=0 und )
Beh: .
Ist f zusätzlich stetig auf [a, b], dann , also  nach dem Zwischenwertsatz.

Beweis:
Aus inf f£ f(x)£ sup f folgt nach Multiplikation mit g(x) (=0 nV.) und darauffolgender Integration (Monotonie des Integrals) . Durch Division durch  erhält man . Also existiert ein , mit , also .

2. MWS: Vor: f monoton wachsend, g stetig in [a, b]
Beh: .

Beweis:
Der Beweis dieses Satzes mittels Sätzen über das Stieltjes-Integral folgt später.
 
 

 

 

4 Definition des Stieltjes-Integrals

4.1 Riemann-Stieltjes-Summen

Um die Sache etwas zu vereinfachen, wollen wir annehmen, daß im Folgenden f und g beschränkte Funktionen auf dem Intervall [a, b] seien.

Analog zu den Riemann-Summen definiert man als Riemann-Stieltjes-Summen:

• 
  

4.2 Die Definition des Stieltjes-Integrals

Wenn diese Riemann-Stieltjes-Summen (oder auch nur Stieltjes-Summen genannt) für DE->0 konvergieren, dann definiert man das Stieltjes-Integral folgendermaßen:

Eine Zahl g wird das Stieltjes-Integral über f nach g von a bis b genannt, falls zu jedem e>0 ein d(e)>0 existiert, sodaß |Z_E-G|<e , wenn nur D E<d(e). Man schreibt dann einfach kurz:

• 

Der so berechnete Wert des Stieltjes-Integrals ist eindeutig. Das heißt aus  und  folgt G=G'.

Beweis: Es ist zu zeigen, daß |G-G'|<e , wobei e >0beliebig.
Es sei also e >0. Dann gilt nach Voraussetzung:
|G-Z_E|<e/2, wenn D E<d₁(e /2)
|G'-Z_E|<e/2, wenn D E<d₂(e /2)
Also für D E<min{d₁(e /2), d₂(e /2)} gilt damit:

|G-G'|=|G-Z_E+Z_E-G'|£ |G-Z_E|+|G'-Z_E|<e .
Damit ist die Eindeutigkeit des Stieltjes-Integrals gezeigt.

4.3 Ober- und Untersummen

Genau wie man das Riemann-Integral über Ober- und Untersumme definieren kann, kann man auch beim Stieltjes-Integral den Weg über Ober- und Untersummen gehen.

Ober- und Untersumme für das Stieltjes-Integral sind definiert als

• 
  

Es gilt dann auch U_E(f, g)£Z_E(f, g)£O_E(f, g) wie bei den Riemann'schen Summen, allerdings nur unter der tiefgreifenden Voraussetzung, daß g monoton steigend ist (für g monoton fallend gilt eine ähnliche Abschätzung, allerdings mit umgekehrten Ungleichungszeichen).
 

Beweis: Da  folgt durch Erweitern mit dem positiven Faktor g(x_k)-g(x_k-1) =0 und anschließender Summation:

• 

Also:  U_E(f, g)£ Z_E(f, g)£ O_E(f, g).

Ist E' eine Verfeinerung von E, dann gilt wie auch beim Riemann-Integral:

U_E(f, g)£ U_E'(f, g) und O_E(f, g)³ O_E'(f, g).

Beweis: Es genügt diesen Sachverhalt für eine Verfeinerung zu zeigen, die durch Hinzunahme eines Teilungspunktes t' zwischen x_r-1 und x_r entsteht. Durch Iteration folgt danach die Behauptung. Der Beweis für die Obersumme geht genau gleich.

Ebenso gilt für beliebige Zerlegungen E und E'', wenn E' eine gemeinsame Verfeinerung darstellt:

U_E(f, g)£ U_E'(f, g)£ O_E'(f, g)£ O_E''(f, g)

Beweis: Die erste und dritte Ungleichung folgt aus dem letzten Satz, die mittlere aus dem Satz davor.

Nimmt man eine beliebige Zerlegung E fest an, so gilt für alle Untersummen zu beliebigen Zerlegungen E': K₀=O_E(f, g)³ U_E'(f, g) und für alle Obersummen zu E': O_E'(f, g)³ U_E(f, g)=K_U. Die Menge der Obersummen ist also nach unten beschränkt, die der Untersummen nach oben. Nach dem Vollständigkeitsaxiom (jeder Häufungspunkt von N liegt in N) folgt, daß das Supremum der Untersummen und das Infimum der Untersummen existieren. Wir definieren damit s=sup{U_E(f, g)} und S=inf{O_E(f, g)}. Es gilt immer s<=S.
 

Beweis: Angenommen, es wäre s>S, also s-S>e >0.
Es gilt |O_E'(f, g)-S|<e /2 und |U_E'(f, g)-s|<e /2, wenn nur D E'<d (e /2).
0<s-S=s-O_E'(f, g)+O_E'(f, g)-S£ s-U_E'(f, g)+O_E'(f, g)-S=|s-U_E'(f, g)+O_E'(f, g)-S|£ |s-U_E'(f, g)|+|O_E'(f, g)-S|<e /2+e /2=e .

Da dies einen Widerspruch zu s-S>e darstellt, gilt s<=S.

Wenn das Integral  existiert, dann gilt:

• 

  Beweis: Nach der Definition gilt  für jede Zerlegung E mit DE<d (e ) und beliebige Zwischenpunkte . Da in den Unter- bzw. Obersummen die Suprema und Infima verwendet werden, schreiben wir uns diese Eigenschaften mathematisch auf:
  mit e bel.
  Für die Stieltjes-Zwischensumme zu E' mit diesen Zwischenpunkten  gilt dann:
  
  Das Gleichheitszeichen in diesem Fall gilt, wenn g(t)=c konstant ist.
  Weiters gilt dann:
  , also .
  Analog gilt für die Untersumme: .
  Insgesamt also: , woraus durch Grenzübergang folgt: , also S£ s.

  Im Satz vorhin habe ich aber gezeigt, daß s£ S, also muß gelten S=s und damit auch .

 
 
 

 
 

5 Eigenschaften des Stieltjes-Integrals

5.1 Linearität bezüglich f und g

Das Stieltjes-Integral ist linear sowohl bezüglich der Funktion f als auch bezüglich der Funktion g. Das heißt also, daß mit f₁ und f₂ auch jede beliebige Linearkombination davon Stieltjes-integrierbar ist. Ebenso gilt, dass wenn f nach g₁ und nach g₂ integrierbar ist, dann ist f auch nach jeder beliebigen Linearkombination davon integrierbar. Außerdem gelten dann folgende Beziehungen:

• 
  

Eine Voraussetzung für diesen Sachverhalt ist natürlich die Integrierbarkeit der f_i nach g und die Integrierbarkeit von f nach g_i. Also müssen alle Integrale auf den rechten Seiten existieren.

Beweis:
a) Aus den Rechenregeln für endliche Summen folgt folgende Beziehung:

Da der Limes der rechten Seite für D E->0 existiert, muß er auch für die linke Seite existieren, womit folgt, daß die Linearkombination von f₁ und f₂ nach g integrierbar ist. Es gilt nach den Rechenregeln des Limes:

b) wird analog zu a) bewiesen:
Aus den Rechenregeln für endliche Summen folgt folgende Beziehung:

Da der Limes der rechten Seite für D E->0 existiert, muß er auch für die linke Seite existieren, womit folgt, daß f nach der Linearkombination von g₁ und g₂ integrierbar ist. Es gilt nach den Rechenregeln des Limes:

5.2 Abschätzungen

Was bringt und ein Integral, für das die in der Analysis ziehmlich wichtige Monotonieeigenschaft nicht gilt? Aber keine Angst, auch für das Stieltjes-Integral gilt die Monotonie:

Sind f₁ und f₂ nach g integrierbar, wobei " xÎ [a, b]: f₁(x)³ f₂(x) gilt, dann gilt auch:

• 

  Beweis: Der Beweis wird wie beim Riemann-Integral über die Zwischensummen durchgeführt, wobei  durch  abgeschätzt wird. Anschließende Limesbildung liefert obige Behauptung:
  .
  Da beide Limiten existieren, folgt aus der Monotonie des Limes:
  .

Wir erinnern uns nun, daß das Riemannsche Integral durch einen beliebigen Zwischenpunkt auf 2 Integrale aufgetilt werden kann:

• 

wobei c beliebig aus dem Integrierbarkeitsintervall gewählt sein kann. Die Übertragung auf das Stieltjes-Integral läuft nicht ganz ohne Komplikationen ab. Im Allgemeinen gilt nämlich obige Gleichung nicht für das Stieltjes-Integral, zumindest nicht in der von mir verwendeten metrischen Ordnung. In der natürlichen Ordnung hingegen gilt dieser Zusammenhang immer. Wenn in der metrischen Ordnung aber alle Integrale in der folgenden Gleichungen existieren, dann gilt für ein beliebiges c:

• 

  Beweis: 
  Es sei nun  eine gemeinsame Verfeinerung von E und E'=(a, c, b):
  
  wobei . Die beiden Summen auf der rechten Seite sind nur Stieltjes-Summen von f eingeschränkt auf die Intervalle [a, c] und [c, b]. Also:
  . Da nach Voraussetzung die Limiten dieser Stieltjes-Summen existieren, konnen wir den Limes der ganzen Gleichung bilden und gleich die Definition des Stieltjes-Integrals als genau diese Limiten einsetzen:
  

Für ein c mit a<b<c genügt schon die Existenz von , damit obige Gleichung gilt. Auf einen Beweis möchte ich hier verzichten.

Beispiel:

Als Beispiel, daß die Existenz der Integrale vorausgesetzt werden muß, möchte ich hier folgendes Beispiel zeigen:

Es existieren dann die Integrale , jedoch existiert das Integral  nicht.

Aber nun werde ich zeigen, daß  nicht existiert:
Es sei E' eine sehr feine Zerlegung von [-1, 1] mit  (d.h. 0 ist nicht in der Zerlegung enthalten).
, da alle anderen Intervalle, die 0 nicht enthalten, verschwinden, wie wir eben gesehen haben.  kann nun aber entweder den Wert 1 oder 0 haben, je nach dem ob  positiv oder negativ ist. Also existiert der Limes nicht, womit auch das Integral nicht existiert.

 
 
 

 
 

6 Existenz des Stieltjes-Integrals

Wenn f in [a, b] stetig und g in [a, b] monoton ist, dann ist f nach g integrierbar.

Beweis: 

Für alle [0 existieren nun  und  mit:
und
.
Da f außerdem stetig auf dem kompakten Intervall [a, b] ist, also sogar gleichmäßig stetig, gilt außerdem:

Es sei nun E eine Zerlegung von [a, b] mit &Dgr;E<&dgr;([). Dann gilt:

Das bedeutet aber nun, daß  existiert.

Mit obigem Satz und der Linearität des Stieltjes-Integrals folgt sofort, daß eine stetige Funktion auch schon dann nach g integrierbar ist, wenn g als endliche Linearkombination von monoton wachsenden Funktionen darstellbar ist. g wird dann von beschränkter Variation genannt.

Beweis: Es sei  monoton steigend. Daraus folgt sofort, daß  existiert, und wegen der Linearität des Stieltjes-Integrals gilt
. Das bedeutet also, daß  existiert.

 
 
 

 
 

7 Transformation in ein Riemann-Integral

Wenn f stetig und g stetig differenzierbar sind in [a, b], dann existiert das Stieltes-Integral und es gilt:

• 

Andererseits lässt sich jedes Riemann-Integral  schreiben als , mit , wenn f Riemann-integrierbar und h stetig sind.

Beweis: Die Funktion f ist beschränkt (da sie stetig auf einer kompakten Menge ist): .
Zu [0 beliebig, aber fix sei ein &dgr;([) gewählt sodaß gilt: , falls .
Wir wählen nun eine Zerlegung E mit &Dgr;E<&dgr;([). Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt:
wobei . Dies ist beinahe eine Riemann-Summe für das Integral , welches existiert, da f und g' stetig sind und ein Produkt von integrierbaren Funktionen wieder integrierbar ist. Wir werden aber gleich sehen, daß diese Summe denselben Limes für D E->0 hat wie die Riemann-Summen. Eine Riemann-Summe für dieses Integral hat die Form:

Durch Subtraktion erhält man:

Im Limes D E->0 ist also die obige Summe ganau das Integral .

Die zweite Behauptung folgt unmittelbar daraus.

Beispiele:

Als Beispiel für die Anwendung obiger Behauptung möchte ich hier die folgenden beiden Beispiele rechnen:

 
 
 

 
 

8 Partielle Integration

Beim Riemann-Integral galt folgende Beziehung, partielle Integration genannt:

• 

 

Für das Stieltjes-Integral gilt ein analoger Satz:

Mit  existiert auch , und es gilt:

• 

  Beweis: Für eine beliebige Zerlegung E=(t₁, ..., t_p) von [a, b] mit  gilt:
  
  Die erste Summe ist Z_E(f, g), also eine Stieltjes Summe für . Für e >0 gibt es ein d (e ) derart, daß , falls D E<d (e ).
  Wenn wir nun E* als Zerlegung betrachten, die eine Verfeinerung von E darstellt und zusätzlich alle  enthält, erhalten wir für die Stieltjes-Summe bezüglich dieser Zerlegung E* genau die zweite Summe. Ist , so fällt der entsprechende Term in der Riemann-Stieltjes-Summe weg, und die Tatsache gilt noch immer.
  Also ist die zweite Summe eine Stieltjes-Summe Z_E*(f, g), wobei E* eine Verfeinerung von E darstellt, also D E*<=DE<d (e ), woraus folgt: .
  Setzen wir für  Z_E*(f, g) aus der ersten langen Gleichung ein, erhalten wir:
  , womit nach Definition des Stieltjes- Integrals gilt:
  .

 
 
 

 
 

9 Mittelwertsätze

Genau wie beim Riemann-Integral gibt es auch für das Stieltjes-Integral 2 Mittelwertsätze:

1. Mittelwertsatz: Existiert , ist g in [a, b] steigend und f beschränkt, so existiert ein µ mit , sodaß:

• 

Ist f zusätzlich stetig, dann existiert ein z Î [a, b] mit µ=f(z )

Beweis:
1. Fall: g(x)=c => , da g(x_i)-g(x_i-1)=0 in allen Stieltjes-Summen. Ebenso ist , also ist µ beliebig.
2. Fall: g(x) nicht konstant, aber steigend (Es ist dann ).
Für alle x gilt dann: .
Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt dann auch:
.
Da das Integral nach g größer 0 ist, kann man durchdividieren und erhält:
.
Also existiert ein a Î [m, M] mit .
 

2. Mittelwertsatz: Wenn die Funktion f im Intervall [a, b] monoton ist, und g stetig, dann existiert  und es existiert ein x Î [a, b] mit:

• 

  Beweis: Man kann annehmen, daß f steigend ist. Das Integral  existiert, da g stetig und f monoton steigen ist, und hat den Wert , wobei cÎ [a, b]. Nach dem Satz über partielle Integration existiert auch das Integral
  
  Das ist aber genau die Behauptung.

Mit diesem 2. Mittelwertsatz können wir nun auch den 2. Mittelwertsatz für Riemann-Integrale beweisen:

Ist f monoton und h stetig in [a, b], so gilt mit einem geeigneten cÎ [a, b]:

• 

  Beweis: Wenn wir im 2. Mittelwertsatz für das Stieltjes-Integral  verwenden, ergibt sich genau die Behauptung.

 
 
 

 
 

10 Unterschiede zwischen der Definition in metrischer und in natürlicher Ordung

Wie bereits erwähnt, wird das Stieltjes-Integral oft als der Netzlimes bezüglich einer Indexmenge B aller zulässigen Paare (E, t ) definiert:

• 

wobei  eine Stieltjes-Zwischensumme darstellt.

Zwischen diesem "natürlichen" und dem von mit verwendeten "metrischen" Integral bestehen die folgenden Beziehungen. Ich möchte damit hier nur einen Anstoß zur weiteren Vertiefung geben, also keine Beweise bringen und manches nur andeuten.

(i) Wenn das metrische Integral existiert, so existiert auch das natürliche Integral, und beide haben denselben Wert.

(ii) Die folgende Beziehung gilt für das natürliche Integral immer, für das metrische Integral jedoch nur, wenn alle Integrale existieren, was nicht unbedingt der Fall sein muß, wie bereits in einem Beispiel gezeigt wurde.

Für a<c<b existierne in der metrischen Ordnung die beiden Integrale auf der rechten Seite sicher dann, wenn das Integral von a bis b existiert. Ex genügt also in der metrischen Ordnung als Voraussetzung für diese Beziehung die Existenz des Integrals über den größten der drei Integrale zu verlangen. Wie gesagt, für die natürliche Ordnung (Definition mittels Netzlimes) gilt diese Beziehung immer.

(iii) Das metrische Integral existiert sicher dann nicht, wenn f und g an derselben Stelle cÎ I unstetig sind. Das natürliche Integral existiert nicht, wenn beide Funktionen f und g an der Stelle c von derselben Seite (rechtsseitig oder linksseitig) unstetig sind. So existiert etwa das Integral  weder in metrischer noch in natürlicher Ordnung. Hingegen existiert das Integral  in der natürlichen Ordnung und hat den Wert 0. In der metrischen Ordnung existiert es allerdings nicht, wie im Beispiel gezeigt wurde.