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Quasi-Monte Carlo Algorithms with Applications in Numerical Analysis and Finance

(Dissertation in Technical Mathematics, Graz University of Technology)

Abstract

This thesis is devoted to the development and application of various Quasi-Monte Carlo methods for numerical integration and also for the solution of differential equations. In contrast to Monte Carlo schemes, they employ deterministic sequences with good distribution properties. This has the effect that explicit error bounds can be shown, and the numerical error usually is improved compared to Monte Carlo methods.

First, a dividend barrier model from risk theory is investigated, where the dividend payments and the survival probability can be described by integro-differential equations. Several different schemes for their solution are presented and compared.

Second, a Quasi-Monte Carlo algorithm for the solution of retarded differential equations is developed. While for slowly changing equations conventional methods perform better, for heavily oscillating equations Quasi-Monte Carlo schemes become competitive and might even be applied in unstable regions where conventional schemes fail.

Finally, the problem of numerical integration of singular functions with respect to a given density is explored. A convergence theorem is proved, and an adapted construction schemes for non-uniformly distributed low-discrepancy sequences is presented. As a numerical example from finance the valuation of an Asian option is investigated. Several different scheme for the singular non-uniform integration are compared, and again the Quasi-Monte Carlo approach turns out to be the most beneficial.

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Zusammenfassung

Diese Dissertation widmet sich der Entwicklung diverser Quasi-Monte Carlo (QMC) Verfahren zur numerischen Integration sowie zur Lösung von Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Monte Carlo Verfahren basieren diese auf deterministischen Folgen mit guten Verteilungseigenschaften. Dadurch können explizite Fehlerschranken angegeben und numerische Fehler deutlich verbessert werden.

Der erste Teil beschätigt sich mit einem Modell einer Dividendenschranke in der Risikotheorie, wobei die Dividenden und die Überlebenswahrscheinlichkeit durch Integro-Differentialgleichungen beschrieben werden. Verschiedene Schemata zu deren Lösung werden präsentiert und verglichen.

Im zweiten Teil wird ein QMC Algorithmus für retardierte Differentialgleichungen entworfen. Während für sich langsam ändernde Gleichungen konventionelle Runge-Kutta Verfahren bessere Ergebnisse liefern, können Quasi-Monte Carlo Methoden bei schnell oszillierenden Gleichungen teilweise sogar in Bereichen angewendet werden, wo konventionelle Verfahren versagen.

Im dritten Teil wird das Problem der numerischen Integration von singulären Funktionen bezüglich beliebiger Dichten behandelt. Neben einem Konvergenzbeweis wird eine Folgenkonstruktion von Hlawka and Mück adaptiert. Als Beispiel aus der Finanzwissenschaft dient die Bewertung asiatischer Optionen, wobei mehrere Methoden zur Auswertung des singulären Integrals verglichen werden. Auch hier zeigt sich, dass der QMC Zugang am vorteilhaftesten ist.

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